Tìm hiểu về các dạng bài tập xét dấu tam thức bậc 2 cơ bản nhất
Gia sư
1. Kiến thức chung về tam thức bậc 2
Trước khi chúng ta tìm hiểu các dạng bài tập xét dấu tam thức bậc 2, hãy cùng nắm rõ các kiến thức chung về chuyên đề này.
Định nghĩa của tam thức bậc 2 là biểu thức có dạng f(x) = ax2 + bx + c, trong đó a, b, c là các hệ số và a ǂ 0.
Ví dụ về tam thức bậc 2 là:
- f(x) = x2 – 3x + 2
- f(x) = x2 – 4
- f(x) = x2(x – 2)
2. Tìm hiểu về dấu của tam thức bậc 2
Để hiểu về dấu của tam thức bậc 2, chúng ta cần tìm hiểu định lý như sau: cho f(x) = ax2 + bx + c, ∆ = b2 – 4ac. Dựa vào định lý này, có các quy tắc sau:
- Nếu ∆ < 0, thì f(x) sẽ luôn cùng dấu với hệ số a với mọi x ϵ R.
- Nếu ∆ = 0, thì f(x) sẽ luôn cùng dấu với hệ số a trừ khi x = -b/2a.
- Nếu ∆ > 0, thì f(x) sẽ luôn cùng dấu với hệ số a khi x < x1 hoặc x > x2, f(x) trái dấu với hệ số a khi x1 < x < x2, trong đó x1 và x2 là 2 nghiệm của f(x).
Để xét dấu của tam thức bậc 2, chúng ta cần làm những bước sau:
- Tìm nghiệm của tam thức trước.
- Lập bảng xét dấu dựa vào dấu của hệ số a.
- Dựa vào bảng xét dấu để đưa ra kết luận.
Đọc ngay: Bài tập bất đẳng thức cosi có lời giải
3. Các dạng bài tập xét dấu tam thức bậc 2 cơ bản kèm ví dụ
Hiện nay, trong chuyên đề xét dấu của tam thức bậc 2, có 2 dạng bài tập cơ bản với mức độ khó – dễ khác nhau. Các dạng này thường xuất hiện trong các bài kiểm tra, bài thi trong quá trình học tập, thi lên cấp,… Do đó, ngoài việc nắm chắc lý thuyết cơ bản và các kiến thức chung về tam thức bậc 2, các bạn cần biết về các dạng bài tập này cũng như cách giải. Hãy cùng tìm hiểu chi tiết về các dạng bài tập xét dấu tam thức bậc 2.
3.1. Dạng bài xét dấu của biểu thức chứa tam thức bậc 2
Dạng bài tập thứ nhất mà bạn cần lưu ý trong chuyên đề xét dấu tam thức bậc 2 là xét dấu của biểu thức chứa tam thức bậc 2. Dạng này không quá phức tạp và thuộc dạng cơ bản. Phương pháp giải bài toán này dựa vào định lý dấu của tam thức bậc 2 để xét dấu của biểu thức chứa tam thức bậc 2. Cụ thể, cách thực hiện giải toán như sau:
- Đối với đa thức bậc cao P(x), ta thực hiện như sau:
- Tiến hành phân tích đa thức P(x) thành tích các tam thức bậc 2 hoặc nhị thức bậc nhất.
- Lập bảng xét dấu của P(x).
- Đối với phân thức P(x)/Q(x), trong đó P(x), Q(x) là các đa thức, ta thực hiện như sau:
- Phân tích đa thức P(x), Q(x) thành tích của các tam thức bậc 2 hoặc nhị thức bậc nhất.
- Tiến hành lập bảng xét dấu của P(x)/Q(x).
Ví dụ để hiểu rõ hơn về dạng bài tập này:
Ví dụ: Xét dấu của tam thức bậc 2 trong các trường hợp sau:
a) 3×2 – 2x + 1
b) – x2 + 4x + 5
c) – 4×2 + 12x – 9
d) 3×2 – 2x – 8
e) 25×2 + 10x + 1
f) – 2×2 + 6x – 5
Hướng dẫn giải:
a) Ta có: ∆’ = -2 < 0, a = 3 > 0. Từ đó suy ra 3×2 – 2x + 1 > 0 với mọi x ϵ R.
b) Ta có: – x2 + 4x + 5 <=> x = -1 hoặc x = 5. Theo bảng xét dấu dưới đây, kết quả là:
- Nếu – x2 + 4x + 5 > 0 <=> x ϵ ( -1; 5)
- Nếu – x2 + 4x + 5 > 0 <=> x ϵ ( – ∞; -1) U (5; +∞).
c) Ta có: ∆’ = 0, a < 0. Từ đó suy ra – 4×2 + 12x – 9 < 0 với mọi x ϵ R {3/2}.
d) Ta có: 3×2 – 2x – 8 = 0, từ đó suy ra 2 trường hợp là x = 2 hoặc x = -4/3. Dựa vào bảng xét dấu dưới, ta có kết quả như sau:
- Nếu 3×2 – 2x – 8 > 0 <=> x ϵ ( – ∞; -4/3) U (2; +∞)
- Nếu 3×2 – 2x – 8 < 0 <=> x ϵ (-4/3; 2).
e) Ta có: ∆’ = 0, a > 0. Từ đó suy ra 25×2 + 10x + 1 > 0 với mọi x ϵ R{-1/5}.
f) Ta có: ∆’ = -1 < 0, a < 0. Từ đó suy ra – 2×2 + 6x – 5 < 0 với mọi x ϵ R.
3.2. Dạng bài toán chứa tham số liên quan đến dấu của tam thức bậc 2
Dạng bài tập xét dấu tam thức bậc 2 thứ hai mà bạn cần ghi nhớ là bài toán chứa tham số liên quan đến dấu của tam thức bậc 2. Dạng này phức tạp hơn dạng 1 và chúng ta sẽ đi vào một số ví dụ cụ thể để dễ hình dung về cách giải toán.
Ví dụ 1: Chứng minh rằng đối với mọi giá trị của m thì:
a) Phương trình mx2 – (3m + 2)x + 1 = 0 luôn có nghiệm
b) Phương trình (m2 + 5)x2 – (căn bậc 2 của 3m – 2)x + 1 = 0 luôn vô nghiệm
Hướng dẫn giải:
a) Ta có:
- Với m = 0, phương trình trở thành -2x + 1 = 0, có nghiệm x = 1/2.
- Với m ǂ 0, ta có ∆ = (3m + 2)2 – 4m = 9m2 + 8m + 4.
Tam thức 9m2 + 8m + 4 có am = 9 > 0, ∆’m = -20 < 0, nên 9m2 + 8m + 4 > 0 với mọi m. Do đó, phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m.
b) Ta có ∆ = (căn bậc 2 của 3m – 2)2 – 4(m2 + 5) = -m2 – 4 căn bậc 2 của 3m – 16.
Tam thức m2 – 4 căn bậc 2 của 3m – 8 có am = -1 < 0, ∆’ = -4 < 0, nên m2 – 4 căn bậc 2 của 3m – 8 < 0 với mọi m. Do đó, phương trình đã cho luôn vô nghiệm đối với mọi m.
Ví dụ 2: Tìm giá trị của m để các biểu thức sau luôn âm:
a) f(x) = mx2 – x – 1
b) g(x) = (m – 4)x2 + (2m – 8)x + m – 5
Hướng dẫn giải:
a) Nếu m = 0, f(x) = -x – 1 có giá trị dương như f(-2) = 1, do đó m = 0 không thỏa mãn yêu cầu của bài toán.
Nếu m ǂ 0, f(x) = mx2 – x – 1 là tam thức bậc 2. Do đó, f(x) < 0 với mọi x <=> a = m < 0 và 1 + 4m < 0 <=> -1/4 < m < 0.
b) Với m = 4, g(x) = -1 < 0, thỏa mãn yêu cầu của bài toán.
Với m ǂ 4, g(x) = (m – 4)x2 + (2m – 8)x + m – 5 là tam thức bậc 2. Do đó, g(x) < 0 với mọi x <=> a = m – 4 < 0 và ∆’ = (m – 4)2 – (m – 4)(m – 5) < 0 <=> m < 4 và m – 4 < 0 <=> m < 4.
Như vậy, với m ≤ 4 thì giá trị của biểu thức g(x) đã cho luôn âm.
Hy vọng qua những thông tin mà bài viết cung cấp về bài tập xét dấu tam thức bậc 2 trên, các bạn đã nắm được kiến thức cơ bản, cần thiết để áp dụng cho các bài kiểm tra, kỳ thi sắp tới.