Các cách chứng minh hình bình hành đơn giản bạn nên biết

02/03/2021

Chứng minh hình bình hành là một trong những bài toán quen thuộc với chúng ta. Ngày từ cấp một chúng ta đã làm quen với hình bình hành, lớn hơn một chút chúng ta bắt đầu học các công thức về tình chu vi, diện tích hình bình hành và các bài bài toán chứng minh hình bình hành. Nội dung bài viết sau đây sẽ đưa ra các cách chứng minh hình bình hành bạn có thể tham khảo để nâng cao kiến thức của bản thân.

Tìm gia sư

1. Bạn hiểu như thế nào là một hình bình hành?

Theo chương trình giáo dục chuẩn thì trong chương trình toán lớp 4 sẽ có nội dung về hình bình hành. Với chương trình toán lớp 4 bạn sẽ nhận biết được hình bình hành. Cụ thể bạn có thể nhận biết hình bình hành như sau:

Bạn hiểu như thế nào là một hình bình hành?
Bạn hiểu như thế nào là một hình bình hành?

Hình bình hành là một hình tứ giác có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau.

Như vậy với những hình tứ giác khi có các cặp cạnh đối song song và bằng nhau thì đều được xem đó là hình bình hành, những hình như hình vuông hay hình chữ nhật đều là những hình bình hành đặc biệt.

Tham khảo: Tìm gia sư toán lớp 8

2. Các dấu hiệu nhận biết hình bình hành

Qua nội dung thông tin trên bạn đã biết như thế nào là hình bình hành, để giúp các bạn trẻ có nhiều thông tin nhận biết một hình là hình bình hành hơn thì bạn có thể tham khảo các dấu hiệu nhận biết hình bình hành sau đây. Bạn có thể áp dụng những dấu hiệu nhận biết hình bình hành sau đây để chứng minh hình bình hành, hãy cùng tìm hiểu nhé.

Các dấu hiệu nhận biết hình bình hành
Các dấu hiệu nhận biết hình bình hành

Nếu một tứ giác có các dấu hiệu dưới đây thì tứ giác đó là một hình bình hành:

- Nếu một tứ giác mà có hai cặp cạnh đối diện song song với nhau thì đó là hình bình hành.

- Nếu một tứ giác mà chiều dài các cặp cạnh đối diện bằng nhau thì có nghĩa tứ giác đó là một hình bình hành.

- Nếu một tứ giác có một cặp cạnh đối diện vừa song song và vừa bằng nhau thì tứ giác đó là hình bình hành.

- Nếu một tứ giác có các góc đối diện bằng nhau thì chứng được xem là hình bình hành.

- Nếu một tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường thì đó cũng là một dấu hiệu để chứng minh hình bình hành.

3. Tính chất của hình bình hành

Hình bình hành có 3 tính chất bạn cần ghi nhớ để áp dụng khi vào tính toán và chứng minh. Hãy cùng tìm hiểu 3 tính chất đó nhé.

Tính chất của hình bình hành
Tính chất của hình bình hành

Tính chất 1: Trong hình bình hành các cạnh đối bằng nhau.

Tính chất 2: Trong hình bình hành các góc đối bằng nhau.

Tính chất 3: Trong hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Xem thêm: Tổng hợp các dạng bài tập về đường tròn phổ biến nhất

4. Các cách chứng minh hình bình hành

Để chứng minh hình bình hành bạn có thể sử dụng một trong các cách sau, dựa vào các thông tin mà đề bài đưa ra bạn có thể lựa chọn cho mình cách chứng minh hình bình hành phù hợp với đề bài, hãy cùng tham khảo những cách chứng minh sau đây nhé.

4.1. Tứ giác có các cạnh đối song song

Cách 1: Chứng minh tứ giác có các cạnh đối song song

Để chứng minh một tứ giác là hình bình hành bạn có thể chứng minh tứ giác đó các các cạnh đối song song, đây là một dấu hiệu để nhận biết hình bình hành.

 Tứ giác có các cạnh đối song song
 Tứ giác có các cạnh đối song song

Ví du: Cho tứ giác ABCD có E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của các cạnh là AB, BC, CD, DA. Hãy chứng minh tứ giác FEGH là hình bình hành.

Gợi ý lời giải: Dạng toán chứng minh hình bình hành khi biết các trung điểm là một trong những dạng toán phổ biến, với dạng toán này để giải được chúng thì việc đầu tiên bạn cần vẽ được hình theo những thông tin mà đề đã cho. Sau khi vẽ được hình bạn có thể nhìn vào hình để chứng minh và giải như sau:

Ta có: EF là đường trung bình của tam giác ABC, nên EF // AC (1)

Tương tự ta có HG là đường trung bình của tam giá ACD, theo tính chất của đường trung bình trong tam giác thì ta có HG// AC (2)

Từ (1) và (2) chúng ta có: HG // EF

Tượng tự như trên chúng ta chứng minh cho HE// FG

Như vậy với hai cặp cạnh đối song song là: HG // EF và HE// FG

Chúng ta có tứ giác EFGH là hình bình hành do các cạnh đối song song với nhau.

4.2. Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau

Cách 2: Chứng minh tứ giác có các cạnh đối bằng nhau

Khi phải chứng minh tứ giác là hình bình hành ngoài cách chứng minh các cạnh song song với nhau thì bạn có thể áp dụng chứng minh các cạnh đối bằng nhau.

Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau
Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau

Ví dụ: Cho tứ giác ABCD có hai giác bằng nhau là ABC và tam giác CDA. Hãy chứng minh ABCD là hình bình hành.

Gợi ý giải toán: Để giải được bài toán trên thì việc đầu tiên bạn cần làm là vẽ hình với những thông tin đề bài cho. Từ hình vẽ bạn sẽ dễ dàng nhìn ra cách chứng minh.

Theo đề bài ra ta có: ∆ABC = ∆CDA => AD = BC và AB = CD

Từ đó ta có từ giác ABCD là hình bình hành dựa vào đặc điểm là các cạnh đối bằng nhau.

4.3. Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau

Cách 3: Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau

Ngoài hai cách chứng minh tứ giác là hình bình hành ở trên thì bạn còn có thể chứng minh tứ giác là hình bình hành dựa vào tính chất hai cạnh đối song song và bằng nhau. Bạn có thể tham khảo ví dụ bên dưới.

Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau
Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau

Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD trên đoạn AD lấy điểm E là trung điểm, đoạn BC lấy điểm F là trung điểm. Chứng minh tứ giác BEDF là hình bình hành.

Gợi ý trả lời: Theo thông tin đề bài chúng ta có hình bình hành ABCD nên hai cạnh AD // BC và AD = BC

AD // BC => DE // BF (1)

Theo đề bài ta có F là trung điểm BC => BF = BC/2 và E là trung điểm AD => DE = AD/2

Mà AD = BC (ABCD là hình bình hành)

DE = BF (2)

Từ (1) và (2) => Tứ giác DEBF là hình bình hành do có hai cạnh đối song song và bằng nhau.

4.4. Tứ giác có các góc đối bằng nhau

Cách 4: Tứ giác có các góc đối bằng nhau

Để chứng minh một tứ giác là hình bình hành thì bạn có thể chứng minh nó có các góc đối bằng nhau.

Tứ giác có các góc đối bằng nhau
Tứ giác có các góc đối bằng nhau

Ví dụ: Cho tứ giác ABCD có ∆ABC = ∆ ADC và ∆BAD = ∆BCD. Từ đó hãy chứng minh rằng ABCD là hình bình hành.

Gợi ý trả lời: Theo đề bài chúng ta có:

∆ABC = ∆ADC suy ra:  Góc ABC = Góc ADC (1)

∆BAD = ∆BCD suy ra:  Góc BAD = Góc BCD (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác ABCD là hình bình hành do các góc đối bằng nhau.

4.5. Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

Cách 5: Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

Bên cạnh những cách chứng minh trên thì khi đề bài yêu cầu chứng mình hình bình hành bạn có thể dựa vào việc chứng mình hai đường cheo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Cụ thể bạn có thể tham khảo ví dụ sau.

Ví dụ 6: Cho hình bình hành ABCD, Có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Từ A kẻ AE vuông góc với BD, từ C kẻ CF vuông góc với BD. Chứng minh rằng Tứ giác AECF là hình bình hành.

Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

Theo đề bài ta có:

OA = OC (tính chất hình bình hành) (1)

Xét hai tam giác vuông AEO và CFO có:

Góc AEO = Góc CFO = 90°

OA = OC

Góc AOE = Góc COF (đối đỉnh)

Suy ra, ∆AEO = ∆CFO (cạnh huyền – góc nhọn) => OE = OF (2)

 Từ (1) và (2) chúng ta có tứ giác AECF là hình bình hành do có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Hy vong với những thông tin trên sẽ giúp bạn hiểu hơn về hình bình hành và quan trọng là có thêm các cách chứng mình hình bình hành.

Hướng dẫn cách học và ghi nhớ các tính chất của tam giác

Các tính chất của tam giác là một trong những kiến thức quan trọng nó xuyên suốt trong cả quá trình học. Việc nắm chắc những tính chất của tam giác sẽ giúp bạn vận dụng giải toán một cách dễ dàng hơn. Hãy cùng tìm hiểu các tính chất của tam giác qua bài viết sau. 

Các tính chất của tam giác

Tham gia bình luận ngay!

captcha
Chưa có bình luận nào